Математические методы субъективного моделирования

Аннотация

В курсе рассмотрен математический формализм субъективного моделирования неопределённых высказываний (но.в.) модельера-исследователя (м.-и.) о модели объекта исследования (ОБ.И.). Для субъективного моделирования но.в. м.-и. характерны два аспекта: неопределённости и неясности, отражающих неполноту и недостоверность информации (их меры и ), и нечёткости, случайности, характерных для её содержания (их меры Р, N и Pr).
Модель неполноты и недостоверности информации м.-и. задает как пространство с мерами правдоподобия и доверия , где – неопределенный элемент (но.э.) со значениями в , моделирующий но.в. м.-и. о неизвестном параметре (н.п.) модели ОБ.И., меры и моделируют модальности но.в. м.-и. об истинности каждого значения н.п.: значение ( = ) определяет, насколько, по его мнению, относительно правдоподобно равенство = , а значение ( ≠ ) определяет, насколько следует относительно доверять неравенству ≠ . Рассмотрены варианты мер правдоподобия , доверия и соответствующих pl-, bel-интегралов, в частности, наследующих некоторые черты теории вероятностей, психофизики и учитывающих интересы коллективов м.-и.

Модель нечёткости, например, нечёткое пространство (Y, P(Y), Pη, Nη), где η – нечёткий элемент, канонический для нечёткого пространства или вероятностное пространство (Y, A, Pr), если содержание информации случайное. Пространство с мерами правдоподобия и доверия моделирует субъективные представления м.-и. о неполноте и о недостоверности информации о модели ОБ.И., нечёткое и вероятностное пространства моделируют нечёткость и случайность содержания информации.

Показано, что математический формализм субъективного моделирования существенно расширяет «стандартное» математическое моделирование, поскольку

• позволяет м.-и. математически моделировать как точные формализованные знания, так и неформализованные, недостоверные знания, начиная с «абсолютного незнания» вплоть до «точного знания» модели ОБ.И., вычислять правдоподобие и доверие истинности любых характеристик ОБ.И., обусловленных его субъективной моделью , а если при этом м.-и. доступны данные наблюдений за ОБ.И., то
• позволяет м.-и. оценить адекватность своей субъективной модели цели исследования, корректировать субъективную модель, комбинируя свои субъективные представления и данные наблюдений, предварительно проверив их согласованность, наконец, позволяет эмпирически восстанавливать модель ОБ.И.

Программа

1. Математические основы субъективного моделирования. Определены и исследованы понятия субъективной модели и неопределённого элемента. Субъективная модель объекта исследования (ОБ.И.), модель которого задана с точностью до неизвестного параметра (н.п.), определена как пространство с мерами правдоподобия и доверия . Неопределённый элемент (но.э.) моделирует возможные значения н.п., а модальности их истинности моделируют значения (но.э.=н.п.) и (но.э.≠ н.п.).
2. Исследованы условия, определяющие меры Pl, Bel и шкалы , и их значений, группа Г, определяющая группу автоморфизмов шкал и , эквивалентность мер Pl и Bel, бинарные операции сложения и умножения в шкалах и , группу изоморфизмов и и их координатные представле-ния. Рассмотрен принцип относительности, подобный принципу относительности в физике.
3. Определены функции и многозначные отображения но.э, позволяющие вычислять распре-деления правдоподобий и доверий любых следствий субъективной модели ОБ.И. Показано, что модельер-исследователь может предложить субъективную модель ОБ.И. в любом случае, в частности, - когда полностью не знаком с моделью ОБ.И., либо -- доподлинно знает все; это заключение означает, что «стандартное» математическое моделирование является частным случаем субъективного моделирования.
4. Определены и исследованы pl- и bel-интегралы относительно мер Pl и Bel и их свойства.
5. Определены и исследованы понятия Pl- и Bel-субъективных независимостей, условных субъективных распределений и мер.
6. Рассмотрены альтернативные варианты мер правдоподобия и доверия: меры, значения которых, отличные от нуля и единицы, допускают содержательное толкование коллективом м.-и., меры, которые наследуют некоторые черты вероятности и психофизики.
7. Эмпирические основы субъективного моделирования. Эмпирическое восстановление математической модели неопределённого нечёткого объекта (НО.НЧ.О.). Эмпирическое построение неопределённого нечёткого элемента как эмпирической оценки неизвестного параметра НО.НЧ.О.
8. Проблема согласованности нескольких субъективных данных, субъективных и эмпирических данных.
9. Мера правдоподобия согласия субъективной модели но.э. с данными наблюдений за НО.НЧ.О.

Основная литература

1. Пытьев Ю.П. Вероятность, возможность и субъективное моделирование в научных исследованиях. Математические и эмпирические основы, приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018, 267 с.
2. Пытьев Ю. П. Моделирование субъективных суждений модельера-исследователя о модели объекта исследования // Математическое моделирование. — 2013. — Т. 25, № 4. — С. 102–125.
3. Pyt'ev Yu. P. Subjective Models, Oblique Projectors and Optimal Decisions in Image Morphology // Pattern Recognition and Image Analysis, 27(2), 213-233.
4. Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности: Математические и эмпирические основы, приложения. Изд. второе, перераб. и дополн., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017.
5. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. — М. Радио и связь, 1990.

Дополнительная литература

1. Д. А. Балакин, Б. И. Волков, Т. Г. Еленина и др. Математическое моделирование субъективных суждений в теории измерительно-вычислительных систем // Интеллектуальные системы. Теория и приложения (ранее: Интеллектуальные системы по 2014, № 2, ISSN 2075-9460). — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 33–78.
2. Фаломкина О. В., Пытьев Ю. П. Субъективное моделирование в задачах морфологического анализа // Сборник материалов XII Всероссийского совещания-семинара Инженерно-физические проблемы новой техники,. — издательство НУК ИУ МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва, 2016. — С. 49–53.
3. Фаломкина О. В., Пытьев Ю. П. Математическое моделирование субъективных суждений // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования. Сборник статей Международной конференции. Москва, РУДН, 15-18 декабря 2014 года. — Российский университет дружбы народов Москва, 2015. — С. 236–241.
4. Прикладные нечёткие системы. Сб. Ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугено. М. М.: МИР, 1993.