Линейные задачи редукции в бесконечномерных пространствах

Аннотация

Данный курс является продолжением курса «Основы функционального анализа». Основное внимание сосредоточено на теории бесконечномерных линенйных операторов, действующих в гильбертовых пространствах. Интерес к этой части функционального анализа объясняется тем, что бесконечномерные (и, прежде всего, интегральные) линейные модели характерны для многих явлений и измерительных процедур. В то же время решение задач с использованием этих моделей требует высокоразвитых математических методов. Изучаются основные свойства замкнутых, ограниченных и компактных операторов, а также операторов Гильберта-Шмидта. Заключительная часть курса посвящена основам спектральной теории.

Программа

1. Действительные гильбертовы пространства. Построение ортонормированного базиса. Теорема Рисса-Фишера.
2. Разложение пространства в прямую сумму линейных подпространств.
3. Теорема об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.
4. Сопряженный оператор и его свойства. Теорема о связи нуль-пространств и пространств значений линейного замкнутого оператора и сопряженного к нему.
5. Теорема фон Неймана.
6. Квадратный корень из неотрицательного ограниченного оператора.
7. Полярное разложение непрерывных операторов.
8. Проблема собственных векторов и собственных значений компактного самосопряженного оператора. Существование собственного базиса. Спектральное разложение компактных операторов.
9. Сингулярные базисы компактного оператора.
10. Гильбертово пространство операторов Гильберта-Шмидта.
11. Основные классы бесконечномерных линейных операторов как пополнения евклидова пространства операторов конечного ранга.

Литература

1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:«Наука»,1976.
2. Ф.Рисс, Б.Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. М.:«Мир»,1979.
3. Ю.П.Пытьев. Математические методы интерпретации эксперимента.М.:,«Высш.шк.»,1989.
4. П.Халмош. Гильбертово пространство в задачах. М.:,«Мир»,1979.
5. И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин. Некоторые применения гармонического анализа. М.:,«Физматгиз»,1961.