Функциональный анализ и экстремальные задачи

Аннотация

Теория экстремальных задач (т.е. задач поиска минимального значения функций) является основой решения задач оптимального принятия решений, оптимального управления и других, часто возникающих на практике. Использование численных методов минимизации функций без глубокого понимания природы экстремальных задач может привести к серьезным ошибкам. В курсе изучаются задачи безусловной минимизации функций, заданных на евклидовых конечномерных и бесконечномерных пространствах, а также минимизации функционалов в банаховых пространствах. Изучаются задачи минимизации функций на множествах, заданных решениями систем уравнений и неравенств (задачи математического программирования), минимаксные задачи, задачи вариационного исчисления и оптимального управления. Преподавание спецкурса сочетает изучение теоретических положений и применение их на практике при решении учебных задач.

Программа

1. Введение. Минимизация без ограничений.
   • Постановка экстремальных задач. Минимум и инфимум.
   • Минимизация функций на конечномерных евклидовых пространствах. Теорема Вейерштрасса, необходимые условия минимума для дифференцируемых функций Выпуклые функции одного переменного. Непрерывность, дифференцируемость, необходимые и достаточные условия минимума.
   • Минимизация функций в гильбертовых бесконечномерных пространствах. Слабая и сильная топология. Теорема Вейерштрасса для функций, заданных на гильбертовых пространствах.
   • Выпуклые функции на гильбертовых пространствах. Необходимые и достаточные условия минимума. Строгая и сильная выпуклость, условия минимума.
2. Математическое программирование.
   • Задачи линейного программирования. Общая, каноническая и основная задачи, их эквивалентность. Геометрическая интерпретация решения задач линейного программирования.
   • Задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа в задачах минимизации функций с ограничениями типа равенств и неравенств. Седловая точка функции Лагранжа и ее свойства. Теорема Куна - Таккера.
3. Задачи на минимакс.
   • Задачи на минимакс. Чебышевская интерполяция.
   • Дискретная задача на минимакс. Необходимое условие минимакса, его геометрическая интерпретация.
4. Вариационное исчисление.
   • Минимизация функций на линейных нормированных пространствах. Постановка задачи.
   • Основы вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Канонические уравнения. Уравнение Гамильтона-Якоби.
   • Задачи управления. Принцип максимума. Метод динамического программирования.

Литература

1. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1988
2. Демьянов В. Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М:Наука. 1972
3. Пытьев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента. М.: Высшая школа, 1989
4. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: "МИР", 1964
5. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения.— 2-е изд., перераб,— М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986