Экстремальные задачи

Отчетность: 
экзамен
Тип: 
обязательный
Часов: 
36
Семестр: 
IV-7

Цель курса - изучение математических вопросов существования и единственности экстремумов функций, сходимости минимизирующих последовательностей и другие. Рассматриваются задачи минимизации функций, заданных на евклидовых конечномерных и бесконечномерных пространствах, а также минимизации функционалов в банаховых пространствах. Изучается методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления.

Программа

  1. Методы минимизации функций на заданной области определения.  

    Минимизация функций, заданных на конечномерном евклидовом пространстве. Теорема Вейерштрасса. необходимые условия минимума дифференцируемых функций. Минимизация выпуклых функций. Численные методы минимизации.

    Минимизация функций, заданных на бесконечномерном евклидовом пространстве R. Сильная и слабая топологии. (Слабая) полунепрерывность функций снизу и сверху, замкнутость и слабая замкнутость. Теорема Вейерштрасса.. Необходимые условия минимума дифференцируемых функций. Сильная и строгая выпуклость функций. Выпуклая минимизация.
  2. Задачи математического программирования.

    Задача линейного программирования. Общая, основная и каноническая задачи, их эквивалентность. Геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования.

    Задачи математического программирования. Теоремы о седловой точке функции Лагранжа. Выпуклое программирование. Теоремы Куна-Таккера. Вариационные уравнения.
  3. Задачи на минимакс.

    Чебышевская интерполяция. Дискретная задача на минимакс. Производная по направлению. Необходимое условие минимакса, его геометрическая интерпретация. Минимизация максимального модуля линейных функционалов как задача линейного программирования. Общая задача на минимакс. Минимакс и максимин.
  4. Вариационное исчисление и задачи оптимального управления.

    Минимизация функций, заданных на линейном нормированном пространстве. Сильная и слабая минимизации. Задачи вариационного исчисления. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Канонические уравнения Гамильтона. Уравнение Якоби-Гамильтона. Задачи оптимального управления. Постановка задачи и связь с вариационным исчислением. Принцип максимума. Принцип динамического управления.

Литература

  1. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука. 1980.
  2. Пытьев Ю.П. Математические методы интерпретации измерений. – М.:Высшая школа. 1989.
  3. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. – М.:Наука. 1972.
  4. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление – М.: Физматгиз. 1961.