Введение в математические методы интерпретации измерений

Отчетность: 
зачёт
Тип: 
обязательный
Часов: 
32
Семестр: 
III-6

Математическое и компьютерное моделирование физических процессов и явлений является одним из важнейших элементов новой технологии научных исследований, позволившей получить впечатляющие результаты в различных областях физики. Компьютеризация полностью изменила облик измерительных приборов, наделив их широкими возможностями автоматизации и математической обработки измерений. Для того, чтобы после компьютерной обработки результата измерений получить наиболее точную интерпретацию, необходимо рассматривать измерительно-вычислительную систему(ИВС) как единый измерительный прибор. На уровне измерительной компоненты этого прибора все процессы контролируются теми или иными физическими законами. На уровне ИВС решающую роль играют как математические свойства физических моделей измеряемого обьекта, среды, измерительной компоненты ИВС и их взаимодействия, так и используемые математические методы и алгоритмы решения задач интерпретации измерений, которые в конечном итоге и определяют предельные возможности ИВС как средства измерений.

Данный спецкурс посвящен рассмотрению наиболее типичных математических моделей физического эксперимента. В нем рассматриваются понятия линейной алгебры, общей теории линейных операторов, теории статистического оценивания, экстремальных задач, необходимые для понимания математической теории измерительно-вычислительных систем как средств измерений в физическом эксперименте.

В первой части спецкурса рассматриваются основные математические модели физического эксперимента. Приводятся наиболее распространенные схемы измерений и общепринятые методы решения задачи их интерпретации. Далее рассматриваются линейные конечномерные модели измерений и необходимые для работы с ними понятия линейной алгебры, такие как линейное пространство, базис, линейные операторы, матричное представление операторов. Приводятся канонические формы матриц и линейных операторов, в том числе жорданова нормальная форма. Рассматриваются собственные векторы и собственные значения операторов, полярное разложение. Приводятся матрицы специального вида, в том числе симметрические, эрмитовы, нормальные, блочные, ортогональные матрицы.

Вторая часть спецкурса посвящена некоторым фактам общей теории линейных операторов, необходимым для понимания основ теории линейных ИВС. В ней рассматриваются проекционные, положительные и унитарные операторы, множество значений и ядро линейного оператора, сингулярное разложение. Особое внимание уделено псевдообратному оператору, его свойствам, проблеме устойчивости и применению операции псевдообращения для решения систем линейных и операторных уравнений. В частности рассмотрен широко распространенный для интерпретации измерений метод наименьших квадратов.

Рассмотрены стохастические модели измерений , приводятся примеры решения задачи интерпретации измерений линейным методом редукции для ряда физических экспериментов.

В третьей части спецкурса рассмотрены задачи на условный экстремум. Приведены элементы топологии, рассмотрены условия существования минимума, дан метод множителей Лагранжа. Особое внимание уделено рассмотрению выпуклых задач на минимум. В качестве примера приведены решения ряда задач на условный экстремум, использующиеся в теории линейных ИВС.

Программа

Часть 1

  1. Линейное пространство, базис, линейные операторы.
  2. Матричное представление операторов.
  3. Сопряженный оператор, его свойства. Теорема о существовании и единственности. Нормальный и унитарный операторы. Теорема об условии унитарности нормального оператора. Эрмитов оператор, теорема об условии его неотрицательности.
  4. Оператор простой структуры. Теорема о диагонализации матрицы оператора простой структуры. Подобие матриц. Унитарная эквивалентность.
  5. Теорема Щура об унитарной триангуляризации.
  6. Блочные матрицы. Обобщенный алгоритм Гаусса. Обращение блочной матрицы.
  7. Жорданова каноническая форма (доказательство теоремы).
  8. Полярное разложение оператора.

Часть 2

  1. Нуль-пространство и пространство значений линейного оператора. Ортогональное дополнение. Лемма 1 о совпадении ядра оператора A и ортогонального дополнения пространства значений оператора A*. Лемма 2 о совпадении N(A) и N(A*A).
  2. Теорема о сингулярном разложении линейного оператора.
  3. Определение псевдообратного оператора через векторы сингулярного базиса. Его свойства.
  4. Оператор ортогонального проектирования и его свойства. Операторы ортогонального проектирования наR(A) и R(A*).
  5. Определение псевдообратного оператора через пределы. Свойства псевдообращения.
  6. След оператора и его свойства. Норма Гильберта-Шмидта.

Часть 3

  1. Постановка задачи на условный экстремум. Теорема о седловой точке функции Лагранжа.
  2. Выпуклые множества. Классификация точек множества. Теоремы о выпуклости внутренних точек выпуклого множества и его замыкания.
  3. Выпуклые функции. Теорема о глобальном минимуме выпуклой функции. Теорема о необходимом и достаточном условии x*X* в случае дифференцируемости функции f(x).
  4. Проекция точки на множество. Теорема о существовании и единственности проекции на выпуклое, замкнутое множество.
  5. Теоремы отделимости.
  6. Теорема Куна-Таккера о существовании седловой точки функции Лагранжа.

Литература

  1. Ф.П. Васильев «Методы решения экстремальных задач.» — М.:Наука, 1981.
  2. В.В.Воеводин «Матрицы и вычисления».
  3. Ф.Р.Гантмахер «Теория матриц».
  4. В.В. Прасолов «Задачи и теоремы линейной алгебры».
  5. Ю.П. Пытьев «Математические методы интерпретации эксперимента».
  6. Б.Н. Пшеничный «Выпуклый анализ и экстремальные задачи». — М.Наука, 1980.