Основы функционального анализа

Отчетность: 
экзамен
Тип: 
обязательный
Часов: 
32
Семестр: 
IV-8

Изучаются основные типы функциональных прространств: метрические, нормированные (банаховы), со скалярным произведением (гильбертовы), и далее линейные функционалы и линейные операторы в этих пространствах. Рассматриваются основные элементы теории и основные типы линейных операторов: замкнутые, ограниченные, компактные, операторы Гильберта–Шмидта. Доказывается ряд базовых теорем функционального анализа: о вложенных шарах, о замкнутом графике, Банаха–Штейнгауза, об общем виде линейного функционала и др. Изучаются элементы спектральной теории. Курс предназначен для студентов, специализирующихся в области математических методов анализа и интерпретации данных.

Программа

Часть 1. Линейные операторы в нормированных пространствах.

  1. Основные понятия теории метрических пространств. Метрика, открытые и замкнутые множества, плотные подмножества, сходимость и фундаментальность последовательностей элементов пространства. Примеры метрических пространств.
  2. Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.
  3. Пополнение неполных пространств. Примеры пополнений.
  4. Компактность в метрических пространствах. Тождественность компактности и полной ограниченности.
  5. Линейные действительные нормированные пространства. Основные понятия. Примеры. Линейные многообразия и линейные подпространства.
  6. Линейные непрерывные функционалы над действительным линейным пространством и их свойства. Примеры. Теорема Хана-Банаха о продолжении функционала.
  7. Линейный оператор. График оператора. Алгебра операторов.
  8. Замкнутые операторы. Теоремы о замкнутом графике. Примеры замкнутых операторов.
  9. Непрерывные операторы и их свойства. Примеры.
  10. Банахово пространство непрерывных операторов. Равномерная ограниченность последовательности непрерывных операторов. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теорема Банаха о непрерывности оператора, обратного непрерывному.
  11. Компактные операторы и их свойства. Примеры.

Часть 2. Линейные операторы в действительных гильбертовых пространствах.

  1. Действительные гильбертовы пространства. Построение ортонормированного базиса. Теорема Рисса-Фишера.
  2. Разложение пространства в прямую сумму линейных подпространств.
  3. Теорема об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.
  4. Сопряженный оператор и его свойства. Теорема о связи нуль-пространств и пространств значений линейного замкнутого оператора и сопряженного к нему.
  5. Теорема фон Неймана.
  6. Квадратный корень из неотрицательного ограниченного оператора.
  7. Полярное разложение непрерывных операторов.
  8. Проблема собственных векторов и собственных значений компактного самосопряженного оператора. Существование собственного базиса. Спектральное разложение компактных операторов.
  9. Сингулярные базисы компактного оператора.
  10. Гильбертово пространство операторов Гильберта-Шмидта.
  11. Основные классы бесконечномерных линейных операторов как пополнения евклидова пространства операторов конечного ранга.

Часть 3. Бесконечномерные линейные модели интерпретации данных.

  1. Псевдообратный оператор. Определение и основные свойства.
  2. Решение линейных уравнений, вариационных задач и уравнений в линейных операторах с помощью псевдообращения.
  3. Случайные элементы и случайные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах.
  4. Задачи наилучшего с.к. оценивания. Задачи редукции измерений.
  5. Сингулярные числа ограниченного линейного оператора.
  6. Собственный базис модели. Проблема эффективного ранга бесконечномерной линейной модели измерения.

Литература

  1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:«Наука»,1976.
  2. Ф.Рисс, Б.Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. М.:«Мир»,1979.
  3. Ю.П.Пытьев. Математические методы интерпретации эксперимента.М.:,«Высш.шк.»,1989.
  4. П.Халмош. Гильбертово пространство в задачах. М.:,«Мир»,1979.
  5. И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин. Некоторые применения гармонического анализа. М.:,«Физматгиз»,1961.