Математические методы субъективного моделирования

Аннотация

В курсе рассмотрен математический формализм субъективного моделирования неопределённый высказываний (но.в.) модельера-исследователя (м.-и.) о значениях неизвестного параметра (н.п.) модели объекта исследования (ОБ.И.). Для субъективного моделирования но.в. м.-и. характерны два аспекта: неопределённости и неясности, отражающих неполноту и недостоверность информации (их меры правдоподобия Pl и доверия Bel), и нечёткости, случайности, характерных для её содержания (их меры возможности Р, необходимости N и вероятности Pr).

Модель но.в. задает как пространство с мерами правдоподобия и доверия, где канонический для них неопределенный элемент (но.э.) моделирует но.в. м.-и. о н.п., меры правдоподобия и доверия моделируют модальности неопределенных высказываний м.-и. об истинности каждого значения н.п. Значение распределения правдоподобия некоторого возможного значения н.п. определяет, насколько, по мнению м.-и., относительно правдоподобно равенство н.п. этому значению, а значение распределения доверия некоторого некоторого возможного значения н.п. определяет, насколько следует относительно доверять неравенству н.п. этому значению. Рассмотрены варианты мер правдоподобия, доверия и соответствующих интегралов, наследующих некоторые черты теории вероятностей, психофизики и учитывающих интересы коллективов м.-и.

Моделью нечёткости или случайности служит, например, нечёткое пространство (Y, P(Y), Pη, Nη), где η – нечёткий элемент, канонический для нечёткого пространства или вероятностное пространство (Y, A, Pr), если содержание информации случайное. Пространство с мерами правдоподобия и доверия моделирует субъективные представления м.-и. о неполноте и о недостоверности информации о модели ОБ.И., а нечёткое и вероятностное пространства моделируют нечёткость и случайность содержания информации.

Показано, что математический формализм субъективного моделирования существенно расширяет «стандартное» математическое моделирование, поскольку

• позволяет м.-и. математически моделировать как точные формализованные знания, так и неформализованные, недостоверные знания, начиная с «абсолютного незнания» вплоть до «точного знания» модели ОБ.И., вычислять правдоподобие и доверие истинности любых характеристик ОБ.И., обусловленных его субъективной моделью,
  а если при этом м.-и. доступны данные наблюдений за ОБ.И., то
• позволяет м.-и. оценить адекватность своей субъективной модели цели исследования, корректировать субъективную модель, комбинируя свои субъективные представления и данные наблюдений, предварительно проверив их согласованность, наконец, позволяет эмпирически восстанавливать модель ОБ.И.

Программа

1. Математические основы субъективного моделирования. Понятия субъективной модели и неопределённого элемента. Субъективная модель объекта исследования (ОБ.И.), модель которого задана с точностью до неизвестного параметра (н.п.), как пространство с мерами правдоподобия и доверия. Неопределённый элемент (но.э.) как модель возможных значений н.п. и модальности их истинностей значениями правдоподобия равенства но.э. каждому возможному значению н.п. и доверия неравенства но.э. каждому возможному значению н.п.
2. Условия, определяющие меры правдоподобия и доверия и шкалы их значений. Группа преобразований, определяющая группу автоморфизмов шкал значений правдоподобия и доверия, эквивалентность мер правдоподобия и доверия, бинарные операции сложения и умножения в шкалах значений правдоподобия и доверия, группа изоморфизмов шкал значений правдоподобия и доверия и их координатные представления. Принцип относительности
3. Функции и многозначные отображения но.э, позволяющие вычислять распределения правдоподобий и доверий любых следствий субъективной модели ОБ.И. Модели «точного знания» и «абсолютного незнания»
4. pl- и bel-интегралы относительно мер правдоподобия Pl и доверия Bel и их свойства
5. Понятия Pl- и Bel-субъективных независимостей, условных субъективных распределений и мер
6. Альтернативные варианты мер правдоподобия и доверия: меры, значения которых, отличные от нуля и единицы, допускают содержательное толкование коллективом м.-и., и меры, которые наследуют некоторые черты вероятности и психофизики
7. Эмпирические основы субъективного моделирования. Эмпирическое восстановление математической модели неопределённого стохастического объекта и эмпирическое построение неопределённого случайного элемента как эмпирической оценки неизвестного параметра неопределённого стохастического объекта. Эмпирическое восстановление математической модели неопределённого нечёткого объекта. Эмпирическое построение неопределённого нечёткого элемента как эмпирической оценки неизвестного параметра неопределённого нечёткого объекта.
8. Мера правдоподобия согласия субъективной модели но.э. с данными наблюдений за неопределенным стохастическим объектом или неопределенным нечетким объектом.
9. Проблема согласованности субъективных данных, полученных из нескольких источников, субъективных и эмпирические данных и их комбинирование
10. Идентификация состояний неопределенного нечеткого объекта.
11. Энтропии распределений правдоподобий и доверий как меры информативности/неопределенности и их свойства
12. Экспертное восстановление распределений нечеткого и неопределенного нечеткого элементов

Основная литература

1. ПытьевЮ.П., Балакин Д. А., Фаломкина О. В., Чуличков А. И. Математические методы субъективного моделирования в научных исследованиях. М.: Физический ф-т МГУ, 2022, 68 с.
2. Пытьев Ю.П. Вероятность, возможность и субъективное моделирование в научных исследованиях. Математические и эмпирические основы, приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018, 267 с.
3. Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности: Математические и эмпирические основы, приложения. Изд. второе, перераб. и дополн., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017, 600 с.

Дополнительная литература

1. Пытьев Ю. П. Моделирование субъективных суждений модельера-исследователя о модели объекта исследования // Математическое моделирование. — 2013. — Т. 25, № 4. — С. 102–125.
2. Пытьев Ю. П. Математические методы субъективного моделирования в научных исследованиях. 1. Математические и эмпирические основы // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика, астрономия. — 2018. — № 1. — С. 3–17.
3. Пытьев Ю. П. Математические методы субъективного моделирования в научных исследованиях. 2. Приложения // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика, астрономия. — 2018. — № 2. — С. 3–17.
4. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. — М. Радио и связь, 1990.
5. Д. А. Балакин, Б. И. Волков, Т. Г. Еленина и др. Математическое моделирование субъективных суждений в теории измерительно-вычислительных систем // Интеллектуальные системы. Теория и приложения (ранее: Интеллектуальные системы по 2014, № 2, ISSN 2075-9460). — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 33–78.
6. Фаломкина О. В., Пытьев Ю. П. Субъективное моделирование в задачах морфологического анализа // Сборник материалов XII Всероссийского совещания-семинара Инженерно-физические проблемы новой техники,. — издательство НУК ИУ МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва, 2016. — С. 49–53.
7. Фаломкина О. В., Пытьев Ю. П. Математическое моделирование субъективных суждений // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования. Сборник статей Международной конференции. Москва, РУДН, 15-18 декабря 2014 года. — Российский университет дружбы народов Москва, 2015. — С. 236–241.
8. Прикладные нечёткие системы. Сб. Ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугено. М. М.: МИР, 1993.