Теория меры

Отчетность: 
экзамен
Тип: 
обязательный
Часов: 
36
Семестр: 
IV-7

Спецкурс начинается с введения понятия множества и операций над множествами. Далее рассматриваются отображения, разбиения на классы, отношения эквивалентности. Вводятся системы множеств: кольцо, полукольцо, алгебра и σ-алгебра, рассматриваются функции множеств. Рассмотрение понятия меры начинается с меры плоских множеств, после чего вводится общее понятие меры и рассматриваются свойства меры, заданной на кольце. Ставится задача продолжения меры, рассматривается продолжение меры с полукольца на кольцо и все его свойства. Особое внимание уделяется счетной аддитивности. Вводится мера Стилтьеса, доказываются ее свойства. Основная часть курса посвящается Лебегову продолжению меры, свойствам класса измеримых по Лебегу множеств и меры Лебега. Измеримые функции рассматриваются со всеми их свойствами, уделено внимание их сходимости, доказываются основные теоремы, в том числе Егорова и Лузина. Достаточно подробно в курсе рассмотрен интеграл Лебега, его основные свойства, в том числе и как функции множества, теоремы об абсолютной непрерывности и монотонной сходимости интеграла и предельном переходе под знаком интеграла. Наконец, рассматриваются прямые произведения систем множеств и мер и теорема Фубини. Курс заканчивается введением пространства суммируемых функций и подробным рассмотрением пространств L1 и L2 . Несмотря на некоторую схематичность, спецкурс охватывает все основные аспекты теории меры, при этом все содержательные теоремы спецкурса приводятся с полными доказательствами.

Программа

  1. Множества. Операции над множествами и их свойства. Отображения. Верхний и нижний пределы множеств.
  2. Кольцо, полукольцо и их свойства.
  3. σ-кольцо, δ-кольцо и их свойства. Борелевские множества.
  4. Функции множеств. Свойства счетно-аддитивных функций, заданных на кольце.
  5. Абстрактная мера. Свойства меры, заданной на кольце.
  6. Задача продолжения меры. Примеры.
  7. Продолжение меры с полукольца на кольцо, минимальное над ним и его свойства.
  8. Счетная аддитивность меры.
  9. Мера Стилтьеса. Теорема о счетной аддитивности меры Стилтьеса.
  10. Лебегово продолжение меры.
  11. Измеримость по Лебегу.
  12. Свойства класса измеримых по Лебегу множеств.
  13. Свойства меры Лебега. Пример неизмеримого множества.
  14. Измеримые функции и их свойства.
  15. Сходимость измеримых функций.
  16. Теорема Егорова.
  17. Теорема Лузина.
  18. Интеграл Лебега.
  19. Свойства интеграла Лебега.
  20. Счетная аддитивность интеграла как функции множества.
  21. Теоремы об интегрируемости |f| и ограниченной интегрируемости.
  22. Теорема Чебышева.
  23. Теоремы об абсолютной непрерывности и монотонной сходимости интеграла Лебега и их следствия.
  24. Теорема Фату.
  25. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
  26. Теорема Фубини.
  27. Пространство L1, его полнота, всюду плотные в L1 множества.
  28. Пространство L2 как сепарабельное гильбертово пространство, сходимость в L2.

Литература

  1. В.А. Садовничий «Теория операторов».
  2. Г.П. Толстов «Мера и интеграл».