Методы математической статистики

Курс посвящен основным задачи математической статистики: точечному и интервальному оцениванию параметров распределений и проверке статистических гипотез. Рассматриваются методы оптимального оценивания и свойства получающихся оценок. Большое внимание уделено методам построения и исследования статистических критериев. Изучаются также непараметрические задачи математической статистики и проблема малых выборок.

Курс предназначен для студентов, специализирующихся в области компьютерных методов физики и математического моделирования.

Программа

1. Постановка задач математической статистики.
2. Точечное оценивание.
   • Свойства точечных оценок (несмещенность, состоятельность).
   • Единственность несмещенной оценки минимальной дисперсии.
   • Необходимое и достаточное условие минимальности дисперсии гильбертовой несмещенной оценки.
   • Сравнения оценок. Неравенства Крамера-Рао и Баттачария. Эффективность.
   • Достаточные статистики и их связь с точечными оценками. Теорема Блекуэлла-Колмогорова.
   • Оценки максимального правдоподобия и их свойства.
3. Интервальное оценивание.
4. Задачи проверки статистических гипотез.
   • Постановка задач проверки статистических гипотез для параметрических семейств распределений.
   • Фундаментальная лемма Неймана-Пирсона. Методы нахождения оптимальных критериев и их свойства. Принцип отношения правдоподобия.
   • Асимптотическое распределение отношения правдоподобия.
   • Состоятельность критерия отношения правдоподобия.
   • Критерии с монотонным отношением правдоподобия.
   • Локально наиболее мощные критерии. Несмещенность, инвариантность параметрических критериев.
5. Семейство доверительных множеств и задачи проверки статистических гипотез.
6. Непараметрическое статистическое оценивание. Критерий Смирнова-Колмогорова, критерий знаков. Критерий «хи-квадрат».
7. Теория выборочного метода. Малые выборки. Асимптотическая теория.
8. Многомерный статистический анализ. Выборочные распределения. Критерии независимости.
9. Последовательный статистический анализ.

Литература

1. Уилкс С.С. Математическая статистика, 1960.
2. Боровков А.А. Математическая статистика, 1984.
3. Леман Э. Теория точечного оценивания, 1991.
4. Леман Э. Проверка статистических гипотез, 1979.
5. Пытьев Ю.П., Шишмарев. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков, Изд-во МГУ, 1983.
6. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М., Наука, 2002.
7. Ивченко Г.М., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М., Наука, 1984.
8. Шметтерер Л. Введение в математическую статистику . М., Наука, 1976.